Карта сайта

Критерий устойчивости найквиста

Для звена с передаточной функцией W 3 pвыбираемого из табл. Структурная схема системы исследуемой системы 2. Провести анализ устойчивости разомкнутой и замкнутой систем см. Проанализировать влияние соотношения коэффициентов звеньев на устойчивость системы рис. Под устойчивостью понимают способность системы восстанавливать исходное состояние равновесия после снятия внешнего возмущения. Устойчивость систем: t 1 — время внесения возмущения; x в t — вынужденное движение системы; x с t — свободное движение системы Различают три типа систем: 1 устойчивые системы, которые, будучи выведены из состояния равновесия каким-либо внешним возмущением, после снятия этого возмущения возвращаются в исходное состояние равновесия; 2 нейтральные системы, которые после снятия возмущения приходят в состояние равновесия, отличное от исходного; 3 неустойчивые системы, в которых не устанавливается равновесия после снятия возмущения. Пусть система находилась в равновесии см. В момент времени t 1 под действием внешнего возмущения система была выведена из этого состояния. Движение системы под действием возмущения называют вынужденным x в t. Начинается свободное движение системы x c t. Причем, если — система устойчивая, — система нейтральная, — система неустойчивая. С целью упрощения анализа устойчивости систем разработан ряд специальных методов, которые получили название критериев устойчивости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические и частотные. Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные — графоаналитическими. Но все они базируются на критерии Ляпунова. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы является условие, когда все вещественные корни характеристического уравнения системы, а также действительные части комплексных корней, отрицательны. Если один из корней положителен — система неустойчива; если равен 0 — система находится на границе устойчивости рис. Мнимая ось является границей устойчивости. Однако пользоваться этим условием на практике для оценки устойчивости реальных систем оказывается достаточно сложно, так как реальные промышленные системы описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка, или содержат звенья чистого запаздывания, так что нахождение корней характеристического уравнения представляет трудную задачу. Для таких систем применяются следующие критерии устойчивости: алгебраический критерий Рауса-Гурвица; частотный критерий Михайлова; амплитудно-фаз о - частотный критерий Найквиста. Алгебраический критерий устойчивости Критерий Рауса-Гурвица является наиболее распространенным алгебраическим критерием и применяется для определения устойчивости системы, когда известно характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение — знаменатель передаточной функции. Необходимое условие устойчивости линейной системы — все коэффициенты характеристического уравнения положительны; достаточное условие устойчивости линейной системы — все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения, положительны. Если хотя бы один из определителей равен 0 — система находится на границе устойчивости. Если какой-либо из определителей меньше 0 — система не устойчива. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид. Достаточное условие устойчивости: Правило составления определителей. В главную диагональ определителя n -го порядка записываются все коэффициенты, начиная с первого. Столбцы матрицы вверх от главной диагонали заполняются коэффициентами с порядковыми номерами по возрастанию индексов, вниз — по убыванию индексов. Все элементы определителя, индексы которых больше порядка характеристического уравнения и меньше 0, заполняют нулями. Достаточное условие устойчивости: Вывод. Все условия выполнены, система устойчива. Частотный критерий Михайлова так же, как и алгебраический критерий, применяется в тех случаях, когда задано характеристическое уравнение системы:. Обозначим полином, стоящий в левой части характеристического уравнения, через D pт. Заменим p на j w. Получим вектор характеристического полинома: При изменении w от 0 до ¥ вектор D j w опишет кривую, называемую годограф Михайлова. Система устойчива, если годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ¥ начинается на положительной части действительной оси комплексной плоскости, проходит последовательно против часовой стрелки n квадрантов плоскости, нигде не обращается в 0 и не проходит через начало координат n — порядок характеристического уравнения системы. Если годограф проходит через начало координат комплексной плоскости, то система находится на границе устойчивости, если нарушается, хотя бы одно из условий критерия — система неустойчива. Годограф Михайлова: а - системы устойчивые; б - системы неустойчивые Пример. Все условия критерия Михайлова соблюдены, система устойчива. Амплитудно-фазовый критерий Найквиста служит для определения устойчивости замкнутой системы, охваченной отрицательной статической обратной связью, по АФЧХ разомкнутой системы рис. Замкнутая система устойчива, если разомкнутая система устойчива, и ее амплитудно-фазовая частотная характеристика не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами —1; j 0. Если АФЧХ проходит через эту точку, то система находится на границе устойчивости, если охватывает — система неустойчивая рис. У астатических разомкнутых систем, которые содержат интегрирующие звенья, амплитудно-фазовой частотной характеристики не образуют замкнутого контура. Поэтому в этом случае трудно решить вопрос об устойчивости замкнутой системы, так как неясно, охватывает ли амплитудно-фазовая частотная характеристика W j w точку —1; j 0. Для определения устойчивости систем с астатизмом любого порядка n достаточно построить одну ветвь амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы, соответствующую положительным частотам. Дополнить ее дугой окружности бесконечно большого радиуса, чтобы замкнуть АФЧХ на действительную ось. Затем применить критерий устойчивости Найквиста. Замкнутая система в этом случае будет неустойчива, так как АФЧХ, дополненная дугой бесконечно большого радиуса, всегда охватывает точку с координатой —1; j 0 в отрицательном направлении по часовой стрелке. Удаление АФЧХ разомкнутой системы W j w от точки —1; j 0 определяет запас устойчивости, который характеризуется двумя величинами: запасом устойчивости по фазе и запасом устойчивости по амплитуде. Правила записи передаточной функции системы, состоящей из нескольких звеньев, соединенных различными способами см. Для звена W 3 p см. Провести оценку устойчивости объекта по алгебраическим критериям: корневому и Рауса-Гурвица. Провести оценку устойчивости объекта по частотному критерию Михайлова. Построить амплитудно-фазовую характеристику объекта без обратной связи и по критерию Найквиста, оценить устойчивость замкнутой системы. Если рассматриваемое звено устойчиво, определить запас устойчивости по амплитуде и фазе. Аналогичным образом проанализировать устойчивость разомкнутой системы, состоящей из трех звеньев см. Аналогичным образом проанализировать устойчивость замкнутой системы, а также провести оценку устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста. Проанализировать влияние соотношения коэффициентов звеньев на устойчивость замкнутой системы, используя один из критериев. Для звена заданного передаточной функцией:1 построить переходной процесс, сделать заключения об устойчивости объекта; 2 сделать заключение об устойчивости объекта по коэффициентам и корням характеристического уравнения; 3 построить годограф Михайлова, сделать заключение об устойчивости объекта по критерию Михайлова; 4 построить амплитудно-фазовую характеристику объекта без обратной связи и по критерию Найквиста, оценить устойчивость замкнутой системы, определить запас устойчивости по амплитуде и фазе. Передаточная функция колебательного звена:. Передаточная функция для единичного ступенчатого воздействия имеет вид:. Выполним обратное преобразование Лапласа см. Оценка устойчивости по алгебраическим критериям. Корневой критерий Ляпунова Характеристическое уравнение для передаточной функции колебательного звена: имеет 2 комплексных корня:. Действительные части комплексных корней, отрицательны, следовательно объект является устойчивым. Критерий Рауса-Гурвица Так как все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то необходимое условие устойчивости объекта выполнено. Для проверки достаточного условия составим определители характеристического уравнения:. Так как все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения, положительны, объект является устойчивым. Оценка устойчивости по частотным критериям. Критерий Найквиста Для разомкнутой системы. Заменяем р на j wосвобождаемся от иррациональности в знаменателе и группируем слагаемые, содержащие и не содержащие j :. Разомкнутая система устойчива, а так как амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами —1; j 0следовательно замкнутая система будет тоже устойчива. Проанализировать влияние соотношения коэффициентов звеньев на устойчивость системы. Передаточная функция разомкнутой системы:. Действительные части комплексных корней, отрицательны, следовательно, разомкнутая система находится на границе устойчивости. Критерий Рауса-Гурвица Так как все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то необходимое условие устойчивости объекта выполнено. Для проверки достаточного условия составим определители характеристического уравнения. Так как один определитель D 3составленный из коэффициентов характеристического уравнения нулевой, а два положительны, разомкнутая система находится на границе устойчивости. Следовательно, разомкнутая система находится на границе устойчивости. Передаточная функция замкнутой системы с отрицательной единичной обратной связью равна:. Корневой критерий Ляпунова Так как характеристическое уравнение исследуемой системы достаточно трудоемко в решении анализ устойчивости по корневому критерию проводить не будем, ограничившись критерием Рауса-Гурвица. Критерий Рауса-Гурвица Все коэффициенты характеристического уравнения положительны - необходимое условие устойчивости объекта выполнено. Для проверки достаточного условия составим определители характеристического уравнения, Так как один определитель D 1составленный из коэффициентов характеристического уравнения, положителен, а два отрицательны, замкнутая система неустойчива. Годограф Михайлова для Годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ¥ начинается на положительной части действительной оси комплексной плоскости, не проходит последовательно против часовой стрелки 3 квадранта плоскости, обращается в 0 и уходит в бесконечность в третьей четверти. Следовательно, замкнутая система неустойчива. Годограф разомкнутой системы для анализа устойчивости по критерию Найквиста Так как разомкнутая система находится на границе устойчивости и ее годограф не охватывает точку —1; j 0то замкнутая система является неустойчивой. Проанализируем влияние соотношения коэффициентов звеньев на устойчивость замкнутой системы, используя критерий Михайлова. Характеристический полином исследуемой системы. Годограф Михайлова при различных значениях коэффициентов При увеличении k годограф сдвигается по оси абсци сс вправо и наоборот. При уменьшении T годограф как бы раскручивается, при увеличении наоборот. При увеличении x наклон годографа к оси абсцисс уменьшается. При увеличении k пстановится больше выпуклость годографа, при уменьшении - годограф сглаживается. При увеличении k и наклон годографа к оси абсцисс увеличивается. В результате варьирования коэффициентов звеньев получили устойчивую замкнутую систему. Подтвердим устойчивость системы методом Рауса-Гурвица. Так как все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то необходимое условие устойчивости объекта выполнено. Для проверки достаточного условия составим определители характеристического уравнения :, Так как все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения положительныто замкнутая система устойчива. Что такое устойчивость САР? Определение устойчивости по временным характеристикам. Какие методы используются для определения устойчивости САР? Определение устойчивости систем с астатизмом по критерию Найквиста. Что такое запас устойчивости? Как определить запас устойчивости?

Смотрите также:
  1. Все условия критерия Михайлова соблюдены, система устойчива.

Написать комментарий

:D:-):(:o8O:?8):lol::x:P:oops::cry::evil::twisted::roll::wink::!::?::idea::arrow: