Карта сайта

Таблица натуральных степеней

График Логари́фм числа по основанию от λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число» определяется какв которую надо возвестичтобы получить число. Обозначение:произносится: « логарифм по основанию ». Из определения следует, что нахождение равносильно решению уравнения. Например,потому. Вычисление логарифма называется логарифмированием. Числа чаще всегоно существует также теория комплексных логарифмов. Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а и преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Определение логарифмов и таблицу их значений для впервые опубликовал в шотландский математик. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры. Со временем выяснилось, что логарифмическая функция незаменима и во многих других областях человеческой деятельности: решениеклассификация значений величин например, иразличных зависимостей,и т. Эта функция относится к числуона по отношению. Чаще всего используются вещественные логарифмы с основаниями. Случай интереса не представляет, поскольку тогда при это уравнение не имеет решения, а при любое число является решением; в обоих случаях логарифм не определён. Аналогично заключаем, что логарифм не существует при нулевом или отрицательном ; кроме того, значение всегда положительно, поэтому следует исключить также случай отрицательного. Окончательно получаем : Вещественный логарифм имеет смысл при Как известно, показательная функция при выполнении указанных условий для существует, и каждое значение принимает только один раз, причём диапазон её значений содержит все положительные вещественные числа. Отсюда следует, что значение вещественного логарифма положительного числа всегда существует и определено однозначно. Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов: : илиоснование: ; : илиоснование: число ; : илиоснование:. Они применяются, например, в, во многих разделах. В самом деле, еслитооткуда, согласно основному тождеству:. Например, умножение многозначных чисел с помощью логарифмических таблиц производилось по следующему алгоритму: найти в таблицах логарифмы чисел ; сложить эти логарифмы, получая согласно первому свойству логарифм произведения ; по логарифму произведения найти в таблицах само произведение. Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Коэффициент в формуле замены основания называется модулем перехода от одного основания к другому. Если же лежат по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен. Любое неравенство для положительных чисел можно логарифмировать. При этом, если основание логарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется, а если основание меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный. Следствия: Ещё одно полезное тождество: Для его доказательства заметим, что логарифмы левой и правой частей по основанию совпадают равныа тогда, согласно следствию из основного логарифмического тождества, левая и правая части тождественно равны. Эта кривая часто называется логарифмикой. Из формулы видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, бо́льшими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси ; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси. Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть дляпоэтому их графики симметричны относительно первого и третьего квадрантов см. Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории. Функция является строго возрастающей при см. График любой логарифмической функции проходит через точку. Функция и неограниченно всюду в своей области определения. Ось ординат является левойпоскольку: при ;. Производная логарифмической функции равна: С точки зрения алгебры, логарифмическая функция осуществляет единственно возможный положительных вещественных чисел и всех вещественных чисел. Они нередко появляются при решенииисследовании статистических зависимостей например, и т. Натуральный логарифм равен площади под Проинтегрировав формулу для производной в интервале от домы получаем: Другими словами, натуральный логарифм равен площади под для указанного интервала x. В частности: Формула непригодна для практического расчёта логарифмов из-за того, что ряд сходится очень медленно и только в узком интервале. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу: Ряд 2 Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа. Данный алгоритм уже пригоден для реальных численных расчётов значений логарифмов, однако не является наилучшим с точки зрения трудоёмкости. Существуют более эффективные алгоритмы. Они обладают преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа легко определить : Еслито на 1 меньше числа цифр в целой части числа. Например, сразу очевидно, что находится в промежутке. Еслито ближайшее к целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в перед первой ненулевой цифрой включая ноль перед запятойвзятому со знаком минус. Например, находится в интервале. Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется. Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от. Связь с натуральным логарифмом : Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении. При этом логарифм рационален и равен только в том случаекогда числа связаны соотношением. Сумма частичная сумма при больших ведёт себя какгде —. На практике используется почти исключительно натуральный комплексный логарифм, который обозначается и определяется как решение уравнения другие, эквивалентные данному, варианты определения приведены ниже. В поле комплексных чисел решение этого уравнения, в отличие от вещественного случая, не определено однозначно. Например, согласно; однако. Это связано с тем, что вдоль мнимой оси является периодической с периодоми одно и то же значение функция принимает бесконечно много. Таким образом, комплексная логарифмическая функция является. Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная не принимает нулевого значения. Ненулевое можно представить в показательной форме: Тогда находится по формуле : Здесь — вещественный логарифм, — произвольное. Отсюда вытекает: Комплексный логарифм существует для любогои его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая часть имеет бесконечное множество значений, различающихся на целое кратное. Вещественная часть комплексного логарифма Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале. Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма. Соответствующая уже однозначная функция называется главной ветвью логарифма и обозначается. Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви. Если — вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом. Из приведённой формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента: На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат. Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. С приближением к нулю функция стремится. Пример ошибочного рассуждения: — явная ошибка. Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви. Причина ошибки — неосторожное использование свойствакоторое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение. Комплексная логарифмическая функция также относится к этой категории: её образ см. Эта поверхность непрерывна. Единственный нуль у функции первого порядка получается. Особые точки: и точки разветвления бесконечного порядка. В силу односвязности риманова поверхность логарифма является для комплексной плоскости без точки. Пусть кривая начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке кривой можно определить по формуле : Если — простая кривая без самопересеченийто для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например: Главная ветвь логарифмической функции и на всейкроме отрицательной части вещественной оси, на которой мнимая часть скачком меняется. Но этот факт есть следствие искусственного ограничения мнимой части главного значения интервалом. Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Если разрешить кривой пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции см. Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма : Для любой окружностиохватывающей точку : Интеграл берётся в положительном направлении. Это тождество лежит в основе теории. Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью вышеприведённых рядов: или— обобщённых на случай комплексного аргумента. Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Индийский математик VIII века Вирасена, исследуя степенные зависимости, опубликовал таблицу целочисленных показателей то есть, фактически, логарифмов для оснований 2, 3, 4. Штифеля, « Arithmetica integra», 1544 Решающий шаг был сделан в средневековой Европе. Потребность в сложных расчётах в быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц и прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, упростятся также. Первым эту идею опубликовал в своей книге « Arithmetica integra» 1544который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для практической реализации своей идеи. Главной заслугой Штифеля является переход от целых показателей степени к произвольным первые шаги в этом направлении сделали в XIV веке и в XV веке. В нём было краткое описание логарифмов их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмовис шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге « Построение удивительной таблицы логарифмов» Mirifici Logarithmorum Canonis Constructioизданной посмертно в 1619 году его сыном Робертом. Судя по документам, техникой логарифмирования Непер владел уже к 1594 году. Непосредственной целью её разработки было облегчить Неперу сложные астрологические расчёты ; именно поэтому в таблицы были включены только логарифмы. Понятия тогда ещё не было, и Непер определил логарифмсопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом : Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать. В современных обозначениях кинематическую модель Непера можно изобразить :где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков тогда ещё не нашли широкого применения. Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функциюто она связана с натуральным логарифмом следующим образом : Очевидно,то есть логарифм «полного синуса» соответствующего 90° есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. Также он хотел, чтобы все логарифмы были положительны; нетрудно убедиться, что это условие для выполняется. Основное свойство логарифма Непера: если величины образуютто их логарифмы образуют прогрессию. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики. В 1624 году Кеплер опубликовал свой собственный вариант логарифмических таблиц Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos. Использование логарифмов позволило Кеплеру относительно быстро завершить многолетний труд по составлениюкоторые закрепили успех. Спустя несколько лет после книги Непера появились логарифмические таблицы, использующие более близкое к современному понимание логарифма. Лондонский профессор издал 14-значные таблицы 1617причём не для тригонометрических функций, а для произвольных целых чисел до 1000 7 лет спустя Бригс увеличил количество чисел до 20000. В 1619 году лондонский учитель математики Джон Спайделл John Speidell переиздал логарифмические таблицы Непера, исправленные и дополненные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов. У Спайделла тоже были и логарифмы самих чисел до 1000 причём логарифм единицы, как и у Бригса, был равен нулю — хотя масштабирование до целых чисел Спайделл сохранил. Вскоре выяснилось, что место логарифмов в математике не ограничивается расчётными удобствами. В 1629 году бельгийский математик показал, что площадь под меняется по логарифмическому закону. В 1668 году немецкий математик открыл и опубликовал в своей книге Logarithmotechnia разложение логарифма в бесконечный ряд. По мнению многих историков, появление логарифмов оказало сильное влияние на многие математические концепции, в том числе: Формирование и признание общего понятия. Появление и общего понятия, развитие теории. Начало работы с бесконечными рядами. Общие методы решения различных типов. Существенное развитие теориитребуемых для вычисления точных логарифмических таблиц. До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log, то над. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа log:. Краткие обозначения наиболее употребительных видов логарифма — для десятичного и натурального — появились намного раньше сразу у нескольких авторов и закрепились окончательно также к концу XIX века. Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной — впервые появилось у 1685 и 1694а окончательно было узаконено. В книге «Введение в анализ бесконечных» Эйлер дал современные определения кактак и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между и Эйлером. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной. В XIX веке, с развитиемисследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия. Разработка теории показала, что ввозникшая ещё до открытия логарифмов 1550может быть описана как комплексный логарифм. Часто логарифмы появляются там, где проявляетсято есть некоторый объект последовательно воспроизводится в уменьшенном или увеличенном масштабе; см. Приведём несколько примеров использования логарифмов в разнообразных науках. Ещё более точные оценки используют. По горизонтали — первые значащие цифры, по вертикали — вероятность их появления. В и логарифм входит в ряд практически важных вероятностных распределений. Например, используется в генетике и физике. «закон первой цифры» описывает вероятность появления определённой первой значащей цифры при измерении реальных величин. Для оценки неизвестного параметра широко применяются и связанная с. Например, для хранения в компьютере натурального числа в обычном для компьютера двоичном формате понадобится битов. Оценкаоснованных на принципе «» — таких каки т. Обычно числовые значения хранятся в памяти компьютера или специализированного процессора в формате. Если, однако, сложение и вычитание для группы данных выполняются редко, а умножение, деление, возведение в степень извлечение корня — гораздо чаще, тогда имеет смысл рассмотреть возможность хранения таких данных. В этом случае вместо числа хранится логарифм его модуля ии скорость вычислений благодаря свойствам логарифма значительно повышается. Логарифмический формат хранения был использован в нескольких системах, где доказал свою эффективность. Например, рассмотримкоторый получается из последовательным удалением аналогичных треугольников, линейный размер каждого из которых на каждом этапе уменьшается вдвое см. Логарифм используется в определениях таких величин, как самоионизации молекулы и кислотности раствора. Время на принятие решения при наличии выбора можно оценить. Для обеспечения вычислений она наносится. Другие примеры: —. Логарифмическая шкала особенно удобна в тех случаях, когда уровни измеряемой величины образуютпоскольку тогда их логарифмы распределены с постоянным шагом. Например, 12 полутонов классической образуют приближённо такую прогрессию со знаменателем. Аналогично, каждый уровень шкалы Рихтера соответствует в 10 раз большей энергии, чем предыдущий уровень. Даже при отсутствии геометрической прогрессии логарифмическая шкала может пригодиться для компактного представления широкого диапазона значений измеряемой величины. Логарифмическая шкала также широко применяется для оценки показателя степени в и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования. Графики трёх функций при различном выборе шкал по осям координат: Верхний ряд - 1 обе линейные; 2 логарифмическая x и линейная y ; Нижний ряд - 1 линейная x и логарифмическая y ; 2 обе логарифмические. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непери они содержали только логарифмыпричём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовалдруг. В профессор математики опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 позже — с 14 знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц появилось только в в Берлине таблицы Бремикера, Carl Bremiker. В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов : Четырёхзначные математические таблицы. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, Профессиональный сборник для точных вычислений. Классические шестизначные таблицы, удобные для расчётов. Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6-е издание, Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. С помощью этого компактного инструмента можно быстро производить все алгебраические операции, в том числе с участием. Точность расчётов — около 3 значащих цифр. Можно ввести логарифмическую функцию для см. Однако большинство алгебраических свойств логарифма при этом теряется — например, логарифм произведения не равен сумме логарифмов, и это снижает практическую ценность такого обобщения. Если — элементыто логарифм в указанном смысле если он существует называется. Чаще всего он рассматривается для конечной группы по некоторому модулю, где называется индексом по этому модулю играет важную роль. Можно определить логарифмы также для. В логарифм существует, если его основание является этой группы. Для работы с очень большими числами вводится понятиесвязанное не са с операцией более высокого порядка:. Справочник по элементарной математике. Киев: Наукова Думка, 1966. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. Baker, Alan 1975Transcendental number theory, Cambridge University Press,p. Vivian Shaw Groza, Susanne Shelley 1972, New York: Holt, Rinehart, Winston. Хрестоматия по истории математики. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Проверено 26 апреля 2012. Harel, David; Feldman, Yishai Algorithmics: the spirit of computing. Electronics Letters 7: 55. Haohuan Fu, Oskar Mencer, Wayne Luk June 2010. IEEE Conference on Field Programmable Technology: 337. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 37. Проверено 17 апреля 2012. Проверено 17 апреля 2012. Проверено 28 апреля 2012. Проверено 28 апреля 2012. Очерки по истории математики в России, издание 2-е. Проверено 12 апреля 2012. Теория функций комплексной переменной. Курс дифференциального интегрального исчисления. История логарифмов Абельсон Последнее изменение этой страницы: 20:51, 6 мая 2016. Текст доступен по ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак некоммерческой организации.

Смотрите также:
  1. Все формулы по алгебре. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке.

  2. Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная не принимает нулевого значения. Если обозначить его функцию , то она связана с натуральным логарифмом следующим образом : Очевидно, , то есть логарифм «полного синуса» соответствующего 90° есть нуль — этого и добивался Непер своим определением.

Написать комментарий

:D:-):(:o8O:?8):lol::x:P:oops::cry::evil::twisted::roll::wink::!::?::idea::arrow: